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协方差矩阵

 
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1、协方差

1)期望值分别为E(X) = μ 与 E(Y) = ν 的两个实数随机变量XY之间的协方差定义为:COV(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

  其中,E是期望值。它也可以表示为:

  直观上来看,协方差表示的是两个变量总体误差的方差,这与只表示一个变量误差的方差不同。

  如果两个变量的变化趋势一致,也就是说如果其中一个大于自身的期望值,另外一个也大于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正值。

  如果两个变量的变化趋势相反,即其中一个大于自身的期望值,另外一个却小于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负值。

  如果XY是统计独立的,那么二者之间的协方差就是0

两个不同参数之间的方差就是协方差 若两个随机变量X和Y相互独立,则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0,因而若上述数学期望不为零,则X和Y必不是相互独立的,亦即它们之间存在着一定的关系。

2)  定义

  E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差,记作COV(X,Y),即COV(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。

 

2、协方差矩阵

假设 X 是以 n 个标量随机变量组成的列向量,并且μk 是其第k个元素的期望值, 即, μk = E(xk), 协方差矩阵然后被定义为:

  Σ=E{(X-E[X])(X-E[X])}=(如图)

  矩阵中的第(i,j)个元素是xi与xj的协方差. 这个概念是对于标量随机变量方差的一般化推广。



 

 

 

 

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